CONSTUEERBAARHEID IN EINDIGE TIJD
Ik vind het een mooie uitdrukking. De vraag is: wat is construeerbaarheid. Is een limiet construeerbaar in een eindig aantal stappen? Je zou hier de vergelijking met een Turing machine kunnen maken. Iets nemen we alleen op in ons systeem op het moment dat een Turing machine in een eindige tijd dit kan construeren, ie alleen berekenbare getallen doen ertoe. Je moet dan goed gaan nadenken over hoe je dan wortel twee op gaat nemen.

AFTELBAAR ONEINDIG IS NIET AFTELBAAR
Je kan wel zeggen dat N aftelbaar oneindig elementen heeft, maar dat is een contradictio in terminis. Iets is of oneindig, of aftelbaar. De essentie van het tellen is namelijk dat het eindig is. Tellen is het bepalen van het aantal van iets en dat kan alleen als het een eindig proces is, anders levert het geen antwoord op. Je moet niet proberen een getal meer te laten zijn dan het is. Een getal is niets anders dan een naam voor een aantal, dat we gebruiken in een proces dat tellen heet. Je hebt ook nog zoiets als rekenen, dat bestaat uit regels die voorspellen op wat voor getallen je uitkomt onder bepaalde omstandigheden.

CONTINUITEIT
Als Continuiteit zo gedefinieerd is, dan gaat mijn bezwaar uit naar continuums. Een bepaald idee van de werkelijkheid veronderstele dat er continuums bestonden, maar dat idee is inmiddels achterhaald en valt waarschijnlijk meer terug te voeren op onze manier van denken, dan op een eigenschap van de werkelijkheid. Het idee dat er tussen twee punten altijd een ander punt ligt, moet eenvoudig naar de reeds volle recycle bin van de geschiedenis verwezen worden.

DE REALITEIT VAN GETALLEN
Dat wortel twee niet bestaat, daar kan niet over getwist worden. De grieken bewezen immers al dat zonder een beroep te doen op een continuum, wortel twee nooit geconstrueerd kan worden, dat een driehoek met een rechte hoek en twee gelijke korte zijdes niet kan bestaan. De werkelijkheidswaarde van getallen houdt op bij Integers, of zoals ze zeggen, God schiep de Integers de rest is mensenwerk. Van vier kan je zeggen dat het bestaat in zoverre dat een groep van vier schapen een zekere vier-heid bezit. Wortel twee heeft niet eens dat.

Het gaat mis op het moment dat je veronderstelt
dat er iets is dat oneindig is of dat er iets is dat continu is. Misschien dat
dat wel het geval is, maar wij mensen kunnen daar niets mee. Het probleem is
natuurlijk wat je met wortel twee moet, zoals de grieken al bedachten. De Grieken
maakten hier echt een punt van en wij zijn geneigd erover heen te lachen, maar
het punt is reeel: hoe ga je om met wortel twee zonder te veronderstellen dat
er een continuum is met oneindig veel getallen tussen iedere twee getallen die
ongelijk zijn aan elkaar. Misschien dat je moet zeggen dat wortel twee helemaal
geen getal is. Het wordt nooit meer dan een formule en eentje die je niet terug
vindt in een zinnige verzameling. Je kan er wel mee rekenen, maar een getal wordt
het niet. Dit is in feite het omgekeerde van het Cantor/Goedel argument: Je begint
met natuurlijke getallen (en wel een aantal dat groot is, maar beperkt) en alle
constructies die je maakt, zijn niet meer dan dat: constructies.
Het feit dat
pi en wortel twee niet in Q past betekent niet dat er een continue R bestaat. Het
feit dat je getallen kan construeren in N die steeds maar groter worden, betekent
niet dat er geen grootste getal in N bestaat (wat tot de merkwaardige stelling leidt,
waarvan een kind kan zien dat het onzin is, dat er net zoveel natuurlijke getallen
zijn als natuurlijke getallen deelbaar door 42). Er is een beperkt aantal getallen.
Verder is er een beperkt aantal getaltheoretische uitdrukkingen, maar dat zijn
alleen recepten, dingen die je kan doen.